ELO?¿Cómo se calcula el ELO de un jugador de ajedrez?
Método
Teoría matemática
La puntuación Elo de un jugador se determina a partir de sus resultados contra otros jugadores. La diferencia de la puntuación Elo entre dos jugadores determina una probabilidad estimada de puntuación entre ellos, llamada "puntuación esperada" o expectativa. La puntuación esperada de un jugador es su probabilidad de ganar más la mitad de su probabilidad de hacer tablas. Por ejemplo, una puntuación esperada de 0,75 puede representar un 75% de opciones de ganar, un 25% de probabilidades de perder y 0% opciones de hacer tablas. Pero, en el otro extremo, también podría significar un 50% de opciones de ganar, 0% de probabilidades de perder y 50% de opciones de hacer tablas. La probabilidad de empatar, al contrario que tener un resultado decisivo, no está especificada en el sistema Elo, considerándose un empate como media victoria y media derrota.
Si el jugador A tiene una puntuación Elo y el jugador B tiene una puntuación Elo , la fórmula exacta (usando una función logística) de la puntuación esperada del jugador A es
Igualmente, la puntuación esperada para el jugador B es
Esto puede ser expresado también como
y
donde y . En este último caso, el mismo denominador se aplica a ambas expresiones. Esto significa que al estudiar sólo los numeradores, nos damos cuenta que el puntaje esperado para el jugador A es veces mayor que la puntuación esperada para el jugador B. De esto se deduce que por cada 400 puntos Elo de ventaja sobre el oponente, la probabilidad de ganar aumenta diez veces en comparación con la posibilidad de ganar del rival. Árpád Élő dejó establecida una tabla que denominó: Percent Scoring Expentancies as a Function of Rating Differences la cual recoge esas probabilidades o expectativas de victoria en función de la diferencia de puntuación Elo entre dos jugadores.
También hay que tener en cuenta que . En la práctica, dado que la fuerza verdadera de un jugador es desconocida, las puntuaciones esperadas son calculadas usando el actual puntaje Elo de los jugadores.
El sistema Elo incrementa o disminuye la puntuación Elo de un jugador según su puntuación obtenida sea superior o inferior a su puntuación esperada. La idea original del sistema (la cual sigue siendo usada) es un simple ajuste lineal proporcional a la diferencia entre la puntuación esperada y la obtenida por un jugador. El máximo ajuste posible por juego, llamado "factor K", se estableció en K = 16 para maestros y K = 32 para jugadores de nivel menor.
Por ejemplo, si la puntuación esperada del jugador A es pero su puntuación al final fue , la fórmula de su nueva puntuación Elo es
Este ajuste a la puntuación Elo de cada jugador puede ser hecho luego de cada partida, al finalizar un torneo, o contando las partidas de un periodo computable (por ejemplo, cada mes en el caso de la FIDE).
Por ejemplo, suponiendo que el jugador A tiene una puntuación Elo de 1613 y juega un torneo de cinco rondas en el que se enfrenta a cinco jugadores con los cuales obtiene los siguientes resultados:
Elo jugador
Puntuación esperada
Resultado
1609
0,506
0
1477
0,686
½
1388
0,785
1
1586
0,539
1
1720
0,351
0
media: 1556
2,867
2,5
De acuerdo con el sistema de puntuación del ajedrez, cada partida ganada vale un punto y cada empate medio punto. La puntuación esperada puede ser calculada para cada partida o para el promedio del puntaje Elo de todos los oponentes.
En este caso el jugador A, al tener un Elo superior en 1613-1556=57 puntos al de sus oponentes, tiene una expectativa o puntuación esperada de 2,867 puntos, pero solo sumó 2,5 por lo cual su nueva puntuación Elo será, de acuerdo con la fórmula anterior, igual a 1613 + 32 × (2,5 − 2,867)) = 1601, asumiendo un factor K=32.
El "factor K" es el valor de la constante K en la fórmula para establecer la variación de la puntuación Elo de un jugador. Este factor se establece de acuerdo con la puntuación Elo de un jugador. Actualmente la FIDE establece los valores de K así:67
K = 40: para jugadores nuevos en el escalafón hasta que completen al menos 30 partidas.
K = 40: para jugadores menores de 18 años por debajo de 2300 de elo.
K = 20: para jugadores por debajo de 2400.
K = 10: para jugadores que hayan alcanzado en algún momento 2400.
La federación de ajedrez de Estados Unidos (USCF) por su parte usa los siguientes valores de K:
Así como la puntuación Elo de un jugador determina su puntuación esperada, la puntuación final determina la fuerza de un jugador de quien se hubiese esperado dicha puntuación. A esa evaluación se le denomina "rendimiento". Una de las fórmulas más comunes para calcular el rendimiento de un jugador es llamada "algoritmo de 400", compuesta de los siguientes pasos:
Tomar el Elo de cada jugador derrotado y sumarle 400
Tomar el Elo de cada jugador con quien se perdió y restarle 400
Tomar el Elo de cada jugador con quien se hizo tablas
Sumar todas las puntuaciones Elo y dividir por el número de partidas.
Esto se puede expresar por la siguiente fórmula:
donde es el promedio del Elo de los oponentes, y es la diferencia del Elo del jugador con ese promedio. El valor de está basado en el porcentaje de puntuación , que es simplemente la cantidad de puntos obtenidos sobre la cantidad de puntos posibles; este factor se usa como clave en la tabla de la derecha.
En dicha tabla se determina que en caso de una puntuación perfecta o de cero, la diferencia será de ±800 (en realidad dicho valor debe ser indeterminado). La tabla completa puede hallarse en el Manual de la FIDE sección 8.1a8
La FIDE clasifica los torneos de acuerdo con el promedio del Elo de sus jugadores, en grupos por diferencias de cada 25 puntos Elo a partir de 2251.
En 1970 se estableció que para alcanzar los títulos de Gran Maestro y Maestro Internacional era necesario alcanzar tres puntuaciones determinadas llamadas normas, en un periodo de tres años. Una norma es una puntuación mínima determinada por la categoría del torneo. Las categorías de los torneos y el porcentaje de puntos necesarios para alcanzar normas de GM o MI se ven en las siguientes tablas:
Cat.
Elo
Norma GM
Norma MI
1
2251–2275
85%
76%
2
2276–2300
83%
73%
3
2301–2325
81%
70%
4
2326–2350
78%
67%
5
2351–2375
76%
64%
Cat.
Elo
Norma GM
Norma MI
6
2376–2400
73%
60%
7
2401–2425
70%
57%
8
2426–2450
67%
53%
9
2451–2475
64%
50%
10
2476–2500
60%
47%
Cat.
Elo
Norma GM
Norma MI
11
2501–2525
57%
43%
12
2526–2550
53%
40%
13
2551–2575
50%
36%
14
2576–2600
47%
33%
15
2601–2625
43%
30%
Los torneos suelen entregar normas hasta la categoría 15 (a partir de allí se asume que los participantes ya tienen título de Gran Maestro). Como cada categoría abarca una diferencia de 25 puntos Elo, se pueden establecer categorías superiores a la 15 por cada 25 puntos Elo de diferencia. Por ejemplo, el Torneo de Candidatos 2013, al reunir a ocho de los mejores jugadores del escalafón mundial, tuvo un Elo medio de 2786,5 y fue un torneo de categoría 22 (la más alta posible)9
La más evidente, quizás, es que no se da ninguna ventaja a las blancas. Situación evidente en la práctica del juego, Elo argumentaba que se compensaba por la alternancia de bando de los jugadores en sus partidas.10
Otra situación discutible es el concepto de "inflación". Bobby Fischer tuvo una puntuación máxima de 2780, y sería actualmente número 4 del mundo. Aunque otros consideran que esto indica exactamente lo que implica: debido al mayor conocimiento del juego (como el uso de ordenadores, más disponibilidad de material bibliográfico, etc) hace que jugadores de hoy en día sean mejores que los de años atrás.
Otro aspecto, relacionado con el anterior, las puntuaciones están en relación con su competición, lo que deja abierta la posibilidad de puntuaciones anormalmente altas (o bajas) dentro de un grupo controlado de jugadores. El conocimiento de esto permitió a Claude Bloodgood, que era solo un jugador con nivel de maestro, alcanzar una puntuación de 2702 (que era la segunda más alta de la USCF en aquel momento) a base de organizar y participar en cientos de torneos carcelarios que contaban con rivales en su mayor parte débiles.
Están las posibles explotaciones, la más común de las cuales es el hecho de que solo los jugadores activos tengan una puntuación activa. A menudo un joven ajedrecista prometedor deja de jugar torneos durante un amplio periodo de tiempo, pero sigue mejorando su capacidad. Esta persona podría circunstancialmente apuntarse en un gran torneo con importantes bolsas de premios para cada categoría, por lo que aumenta sus opciones de ganar gran cantidad de dinero, jugando contra rivales que teóricamente tienen menor capacidad. Otra forma común es el "emparejamiento selectivo": un jugador con puntuación más alta sólo retará o aceptará retos de oponentes apreciablemente más débiles.
La peregrinación del caballo de ajedrez consiste en su paseo por todas las casillas del tablero sin pasar dos veces por la misma, utilizando sus movimientos: dos casillas horizontales y una vertical o a la inversa. Cuando desde la última casilla podamos pasar a la primera se trata de una "peregrinación cerrada".
A lo largo de los siglos, matemáticos de todo el mundo dedicaron un especial interés a este problema. Uno de ellos se destacó por sus ingeniosas e increíbles soluciones, Leonard Euler (Basilea - Suiza, 1707-1783). Una de sus soluciones es un recorrido en el que las filas y columnas suman 260. El desarrollo de los movimientos del caballo por las 64 casillas ya es, en sí, muy difícil de conseguir como para, además, lograr que filas y columnas sumen lo mismo.
Leonard Euler
Podemos imaginarnos cómo Euler, en el siglo XVIII, trabajó para resolver el acertijo, sus herramientas fueron una pluma, papel, mucha paciencia y una grandísima dosis de algo que demostró toda su vida: genialidad. Así, la técnica empleada sería, básicamente, la misma que he utilizado con ayuda de un programa informático diseñado en B.A.S.I.C. para este estudio, realizar movimientos del caballo de una a otra casilla hasta que, en el caso de que no queden casillas vacías, es necesario volver atrás, borrar el movimiento anterior y realizar un salto de caballo distinto. El proceso se repite hasta que se complete el recorrido.
A Euler le hubiera encantado disponer de la capacidad de cálculo de un ordenador. Al programa en B.A.S.I.C., en cambio, me encantaría añadirle la genialidad que demostró este gran matemático. A diferencia de los programas para jugar a ajedrez, este no da prioridad a los movimientos, el caballo puede mover, como máximo, a ocho casillas y, como mínimo, a dos realizándose los ocho posibles movimientos por orden. Así, intenta el primer movimiento, y si este no es posible porque la casilla está ocupada, intenta el segundo y así, sucesivamente, hasta que completa todas las posibilidades.
Teniendo en cuenta que disponemos de 64 casillas y en cada movimiento de dos a ocho posibles casillas para mover el caballo, podemos hacernos una idea del gran número de posibilidades. Sin entrar en cálculos con grandes números, traducido a tiempo real, el algoritmo podría resultar “infinito”. Por supuesto, se puede encontrar una solución en unos minutos o segundos si el ordenador realiza los movimientos adecuados. Esto me indujo a pensar en realizar recorridos con menos casillas que se pueden completar en pocos segundos, por ejemplo en un tablero de 4x4, de 5x5, de 3x8, etc,.
Para recorrer el tablero de ajedrez de 8x8 se pueden enlazar varios recorridos comenzando uno de ellos en una casilla a la que se accede desde el último movimiento del anterior. Por ejemplo dos recorridos de 3x3 se podrían enlazar como se muestra -desde la casilla de movimiento 8 pasamos al siguiente con el movimiento 9-:
Como es preferible que sean completos, hemos de analizar todas las posibilidades en cada uno de ellos. A continuación se describen algunos recorridos completos y otros que no es posible realizar (en estos se refleja un ejemplo, pero se han analizado todas las posibilidades):
3x3
3x4
3x5
4x4
No hay solución
No hay solución
No hay solución
Problema del caballo
El problema del caballo es un antiguo problema matemático en el que se pide que, teniendo una cuadrícula de n x n casillas y un caballo de ajedrez colocado en una posición cualquiera ( x, y ), el caballo pase por todas las casillas y una sola vez.
Solución para 63 saltos de caballo por las 64 casillas.
Muchos matemáticos han buscado una solución matemática a este problema, entre ellos Leonhard Euler.
Se han encontrado muchas soluciones a este problema y de hecho no se sabe con seguridad de cuántas maneras diferentes es posible solucionarlo.
Algunas variaciones de este problema han sido estudiadas por los matemáticos, tales como:
Buscar soluciones cíclicas, en la cual se debe llegar a la misma casilla de la cual se partió.
Tableros de diferente número de columnas o diferente número de filas.
Juegos de dos jugadores basados en la idea.
Problemas usando ligeras variaciones en la forma de moverse el caballo.
A la derecha podemos apreciar una de las posibles soluciones en un tablero de ajedrez convencional de ocho columnas por ocho filas. Abajo, una solución cíclica en que la casilla de destino es justo la anterior a la de partida.
3x3
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